题目内容
已知向量
=（
，cosx-
），
=（sinx，1），函数f（x）=
•
．将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的
，把所得到的图象再向左平移
个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若
⊥
，求y=g（x） 的值．
| a |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若
| a |
| b |
分析：（Ⅰ）利用向量的坐标运算可求得f（x）=
•
，从而可求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用向量的数量积，求出g（x）的表达式，然后求出函数的最小值．
| a |
| b |
（Ⅱ）利用向量的数量积，求出g（x）的表达式，然后求出函数的最小值．
解答：（原创题） 解：（Ⅰ）函数f（x）=
•
=
sinx+cosx-
=2sin（x+
）-
…（3分）
∴2kπ-
≤x+
≤2kπ+
，k∈Z．
解得：2kπ-
≤x≤2kπ+
．∴f（x）的单调递增区间为[2kπ-
，2kπ+
]，k∈Z（6分）
（Ⅱ）∵
⊥
，∴
•
=0由（1）得2sin（x+
）-
=0，∴sin（x+
）=
…（7分）
∵f（x）=2sin（x+
）-
，将函数
y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，得：y=2sin（2x+
）-
，再向左平移
个单位，g（x）=2sin[2（x+
）+
]-
…（10分）
得g（x）=2sin（2x+
）-
=2sin[2（x+
）+
]-
=2cos（2x+
）-
=2[1-2sin2（x+
）]-
=2（1-
）-
=
…（14分）
| a |
| b |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
∴2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解得：2kπ-
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
∵f（x）=2sin（x+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
得g（x）=2sin（2x+
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
=2cos（2x+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 18 |
| 1 |
| 3 |
| 14 |
| 9 |
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的性质，是三角中的综合题，属于中档题．
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