Question

已知向量a=(sinx•

3

)，b=(cosx•si

n

2

x-

1

2

)，函数f（x）=a•b．
（1）求f（x）单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象按向量c=（m，0），得到函数y=g（x）的图象，且g（x）为偶函数，求正实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可将f（x）=

a

•

b

化为：f（x）=sin（2x-

π

3

），从而利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）单调递增区间；
（2）由题意可求得g（x）=f（x-m）=sin（2x-2m-

π

3

），再结合g（x）为偶函数，可得到，-2m-

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z），于是可得正实数m的最小值．

解答：解：（1）∵

a

=（sinx，

3

），

b

=（cosx，sin²x-

1

2

），
∴f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+

3

（sin²x-

1

2

）
=

1

2

sin2x+

3

×

1-cos2x

2

-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，（k∈Z）
f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（2）f（x）图象按向量

c

=（m，0），得到函数y=g（x）的图象，
则：g（x）=f（x-m）=sin[2（x-m）-

π

3

]=sin（2x-2m-

π

3

），
∵g（x）为偶函数，
∴-2m-

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z）
∴当k=-1时，m最小．m_min=

π

12

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查向量的数量积的坐标运算，向量的平移及函数的奇偶性的应用，综合性强，属于中档题．