题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2PA，D、E分别是棱AB，AC上的动点，且AD=CE，连接DE，当三棱锥P-ADE体积最大时，平面PDE和平面PBC所成二面角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】分析：求出三棱锥P-ADE体积最大时，D、E分别是棱AB，AC上的中点，作出平面PDE和平面PBC所成二面角，利用余弦定理，即可求得结论．
解答：
解：由题意，设AB=BC=CA=2PA=2，AD=CE=t，则三棱锥P-ADE体积为
=
=-
∴t=1时，三棱锥P-ADE体积最大，此时，D、E分别是棱AB，AC上的中点
取DE中点M，BC中点N，连接PM，MN，PN，则
∵DE∥BC，PM⊥DE，PN⊥BC
∴∠MPN为平面PDE和平面PBC所成二面角，
在△MNP中，PM=
，MN=
，PN=2，
∴cos∠MPN=
=
=
故选D．
点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查面面角，考查余弦定理的运用，属于中档题．
解答：
解：由题意，设AB=BC=CA=2PA=2，AD=CE=t，则三棱锥P-ADE体积为==-
∴t=1时，三棱锥P-ADE体积最大，此时，D、E分别是棱AB，AC上的中点
取DE中点M，BC中点N，连接PM，MN，PN，则
∵DE∥BC，PM⊥DE，PN⊥BC
∴∠MPN为平面PDE和平面PBC所成二面角，
在△MNP中，PM=
，MN=，PN=2，∴cos∠MPN=
==故选D．
点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查面面角，考查余弦定理的运用，属于中档题．
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