Question

1．我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线$y=\frac{b}{a}x$所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积a²hπ．

Answer 1

分析 确定AC²-BC²=a²，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积．

解答 解：由题意，图形是一个圆环，圆环的半径为AC，BC，其面积S=π（AC²-BC²）
∵$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$⇒$A{C^2}={a^2}+\frac{a^2}{b^2}{m^2}$，
同理$B{C^2}=\frac{a^2}{b^2}{m^2}$
∴AC²-BC²=a²，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积为a²hπ．
故答案为：a²hπ．

点评 本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．