Question

9．设函数f（x）=clnx+$\frac{1}{2}$x²+bx（b，c∈R，c≠0）且x=1为f（x）的极值点．
（1）若在曲线以g（c）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²上点（1，g（1））处的切线过点（2，0），求b，c的值；
（2）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据g′（1），g（1），得到关于b，c的方程组，求出b，c的值即可；
（2）通过讨论c的范围，确定函数的单调区间，求出函数的极大值和极小值，从而求出c的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+bx+c}{x}$，又f′（1）=0，即b+c+1=0，
∴f′（x）=$\frac{（x-1）（x-c）}{x}$，且c≠1，
（1）∵g（x）=clnx+bx，∴g′（x）=$\frac{c}{x}$+b，则g′（1）=b+c，
∵g（1）=b，∴$\frac{b}{1-2}$=b+c，
又b+c+1=0，
∴b=1，c=-2；
（2）①若c＜0，则f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
f（x）=0恰有两个解，则f（1）＜0，即$\frac{1}{2}$+b＜0，∴-$\frac{1}{2}$＜c＜0，
②若0＜c＜1，则f（x）_极大值=f（c）=clnc+$\frac{1}{2}$c²+bc，f（x）_极小值=f（1）=$\frac{1}{2}$+b，
∵b=-1-c，则则f（x）_极大值=clnc+$\frac{1}{2}$c²+c（-1-c）=clnc-c-$\frac{{c}^{2}}{2}$＜0，
f（x）_极小值=-$\frac{1}{2}$-c，从而f（x）=0只有一解，
③若c＞1，则，f（x）_极小值=clnc+$\frac{1}{2}$c²+c（-1-c）=clnc-c-$\frac{{c}^{2}}{2}$＜0，
f（x）_极大值=-$\frac{1}{2}$-c，从而f（x）=0只有一解，
综上，使得f（x）=0恰有2个解的c的范围是（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及曲线的切线方程问题，是一道中档题．