Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
（1）如果直线l过抛物线的焦点，求 · 的值；
（2）如果 · ＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：抛物线焦点为 ，设 ，代入抛物线方程 中得，
，
设 ，则 ，
∴
。
（2）解：设 ，代入抛物线方程 中得， ，
设 ，则 ，
∴
，
令 ，∴ ， ，
∴直线 过定点 ，∴若 ，则直线 必过一定点。
【解析】（1）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．
（2）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于-4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．