题目内容

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AB=BC=AC=4，AA₁=2，如图所示，则异面直线AB₁与BC₁所成的角是________（结果用反三角函数值表示）．

arccos $\text{[math]}$
分析：设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 θ，求出cosθ= $\text{[math]}$ 的值，即可求得θ 的值，从而求得异面直线AB₁与BC₁所成的角．
解答：由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4×4cos120°+0+0+4=-4．
设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 θ，则有cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴θ=π-arccos $\text{[math]}$ ，故异面直线AB₁与BC₁所成的角是arccos $\text{[math]}$ ．
故答案为 arccos $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，两个向量夹角公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

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如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4．E、F分别是棱CC₁、AB中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥BB₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-ECBB₁的体积；
（Ⅲ）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，并加以证明．

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB₁，AA₁的中点．
（I）求证：平面B₁FC∥平面EAD；
（II）求证：BC₁⊥平面EAD．

如图所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′两两垂直，E，F，H分别是AC，AB，BC的中点，
（I）证明：EF⊥AH；
（II）求四面体E-FAH的体积．

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB和C₁D所成的角（用反三角函数表示）；
（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B₁C₁E的距离．

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC；M．N．P分别是棱BC．CC₁．B₁C₁的中点．A1Q=3QA， BC=

AA1
（Ⅰ）求证：PQ∥平面ANB₁；
（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面AMB₁．