Question

(16分)已知函数， .

（1）求的单调区间和极值；

（2）设≥１，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；

（3）对任意，求证：.

Answer 1

解析： (1) ∵        ……………………………………………2分

∴当＞１时，＜０，当０＜＜１时，＞０．

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为．    ……4分

(２) ∵（≥１）∴当时，，单调递减，

此时值域为．    …………………………………………6分

由(1)得，当时，值域为，        ……………………………8分

由题意可得：≤－１，所以１≤≤.    ………………………………10分

（3）令，则，∵，∴，原不等式等价于

由（1）知在上单调递减，∴，即……12分

令，∵，当时，，

∴在上单调递增，∴，即……………14分

综上所述，对任意，恒有成立. ……………………16分