Question

已知F₁、F₂分别是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点，若F₂关于渐近线的对称点恰落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（　　）

• A、

  3

• B、3
• C、

  2

• D、2

Answer 1

分析：求出F₂到渐近线的距离，利用F₂关于渐近线的对称点恰落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．

解答：解：由题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），一条渐近线方程为y=

b

a

x，则F₂到渐近线的距离为

bc

b2+a2

=b．
设F₂关于渐近线的对称点为M，F₂M与渐近线交于A，∴|MF₂|=2b，A为F₂M的中点
又0是F₁F₂的中点，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂为直角，
∴△MF₁F₂为直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=2．
故选D．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．