题目内容

如图，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C．求：
（Ⅰ）△AOC的面积小于 $数学公式$ 的概率P₁；
（Ⅱ）△AOC为钝角三角形的概率P₂．

解：（Ⅰ）△AOC的面积等于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×OC×2sin60°= $\text{[math]}$ OC，
∴OC= $\text{[math]}$ ，∴△AOC的面积小于 $\text{[math]}$ 的概率P₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）△AOC为钝角三角形时，∠ACO为钝角，或∠OAB是钝角．
当∠ACO=90°时，有勾股定理可求 OC=1，故∠ACO为钝角的概率为 $\text{[math]}$ ．
∠OAB=90°时，由直角三角形中的边角关系可得OC=4，BC=1，∠OAB是钝角的概率为 $\text{[math]}$ ，
综上，△AOC为钝角三角形的概率等于 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）求出：（Ⅰ）△AOC的面积等于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时OC的长度，用此长度除以线段OB的长，即得所求的概率P₁．
（Ⅱ）△AOC为钝角三角形时，∠ACO为钝角，或∠OAB是钝角，分别求出∠ACO为钝角的概率，和∠OAB是钝角的概率，
将求出的这两个概率相加，即得△AOC为钝角三角形的概率．
点评：本题考查等可能事件的概率，几何概型的解法，体现了分类讨论的数学思想．