Question

设A、B的坐标分别为（-3，0）、（3，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是

1

3

．
①求点M的轨迹方程；
②过点（2

3

，0）作倾斜角为45°的直线交M的轨迹于D、E两点，求|DE|．

Answer 1

分析：①利用斜率公式即可得出；
②把直线的方程与双曲线的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得出．

解答：解：①设点M（x，y），（（x≠±3），则kAM=

y

x+3

，kBM=

y

x-3

，
由题意得

y

x+3

×

y

x-3

=

1

3

，化为

x2

9

-

y2

3

=1．
∴点M的轨迹方程为

x2

9

-

y2

3

=1，（x≠±3）；
②由题意得直线的方程为y=x-2

3

，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
联立

y=x-2 3 x2 9 - y2 3 =1

，消去y得2x2-12

3

x+45=0，
△＞0，∴x1+x2=6

3

，x1x2=

45

2

．
∴|DE|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(6 3 )2-4× 45 2 ]

=6．
因此|DE|=6．

点评：熟练掌握直线与圆锥曲线的相交弦问题的解题模式、根与系数的关系及弦长公式、直线的斜率公式是解题的关键．