Question

已知函数为奇函数．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（1+2x²）+f（﹣x²+2x﹣4）＞0．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，
∴函数解析式为：．
∴对f（x）求导数，得．
∵当x＞1时，＜0成立，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）由f（1+2x²）+f（﹣x²+2x﹣4）＞0，得f（1+2x²）＞﹣f（﹣x²+2x﹣4）．
∵f（x）是奇函数，
∴﹣f（﹣x²+2x﹣4）=f（x²﹣2x+4）．
原不等式化为：f（1+2x²）＞f（x²﹣2x+4）．
又∵1+2x^2≥1，x²﹣2x+4=（x﹣1）²+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴1+2x²＜x²﹣2x+4，即x²+2x﹣3＜0，解之得﹣3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x²）+f（﹣x²+2x﹣4）＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}