Question

已知函数f(x)=

a•2x+a-1

2x+1

．
（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数定义，在定义域内f（-x）=-f（x）恒成立可求a值；
（2）利用2^x＞0及函数单调性可求f（x）的值域．

解答：解：（1）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
即

a•2-x+a-1

2-x+1

=-（

a•2x+a-1

2x+1

），
解得：a=

1

2

．
故当a=

1

2

时，f（x）为奇函数．
（2）由（1）知，若f（x）为奇函数，a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
因为2^x＞0，所以0＜

1

2x+1

＜1，-1＜-

1

2x+1

＜0，
所以-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
故f（x）的值域为（-

1

2

，

1

2

）．

点评：本小题主要考查函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．