Question

（2013•嘉兴一模）已知双曲线c：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)，以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N （异于原点O），若|MN|=2

3

a，则双曲线C的离心率 是（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  3

  +1

Answer 1

分析：连接NF，设MN交x轴于点B，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求出N（

3 a2

b

，

3

a），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式，化简整理可得c=2a，由此即可得到该双曲线的离心率．

解答：解：连接NF，设MN交x轴于点B
∵⊙F中，M、N关于OF对称，
∴∠NBF=90°且|BN|=

1

2

|MN|=

1

2

×2

3

a=

3

a，
设N（m，

3

a），可得

3

a=

b

a

m，得m=

3 a2

b

Rt△BNF中，|BF|=c-m=

bc- 3 a2

b

∴由|BF|²+|BN|²=|NF|²，得（

bc- 3 a2

b

）²+（

3

a）²=c²
化简整理，得b=

3

2

c，可得a=

1

2

c，故双曲线C的离心率e=

c

a

=2
故选：C

点评：本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知圆F被两条渐近线截得弦长的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．