Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，且CA＝CB1．

（1）证明：面CBA1⊥面CB1A；

（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）设AB1与A1B交于O，连接OC，先证明AB1⊥平面CA1B，再根据面面垂直的判定定理即可得证；

（2）由A1C＝BC，故CO⊥A1B，又（1）知OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，故OC⊥平面ABB1A1，以O为原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面CA1B1和平面C1A1B1的法向量，利用夹角公式求出即可．

（1）证明：设AB1与A1B交于O，连接OC，如图，

因为侧面ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，

又CA＝CB1，所以OC⊥AB1，又A1B∩CO＝O，

故AB1⊥平面CA1B，又AB1平面CAB1，

故平面CBA1⊥平面CB1A；

（2）由A1C＝BC，故CO⊥A1B，又（1）知OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，

故OC⊥平面ABB1A1，以O为原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

设A1C＝BC＝BA1＝2，则OC，

则，，A1(0,﹣1,0)，B(0,1,0)，

由，得，

所以，，，

设平面CA1B1的一个法向量为，

由，得，

设平面C1A1B1的一个法向量为，

由，得 ，

故cos，

又二面角C﹣A1B1﹣C1为锐角，

故二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值为．