Question

【题目】【2017宁夏石嘴山市二模】如图,在以为顶点的多面体中,平面,平面,,.

（1）请在图中作出平面,使得,且,并说明理由；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）如图,取中点,连接,则平面即为所求的平面,

显然,以下只需证明平面；

∵,

∴且,

∴四边形为平行四边形,

∴.

又平面,平面,

∴平面.

∵平面,平面,

∴.

又平面,平面,

∴平面,

又平面,平面,,

∴平面平面.

又平面,

∴平面,即平面.

（2）过点作并交于,

∵平面,

∴,即两两垂直,

以为原点,以所在直线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系.

在等腰梯形中,∵,

∴,

则.

∵,∴,

∴.

设平面的法向量,

由,得,

取,可得平面的一个法向量.

设直线和平面所成角为,

又∵,

∴,

故直线和平面所成角的正弦值为.