Question

已知在等比数列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₂是a₁和a₃-1的等差中项，a₁=1，
∴2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，
∴=2，
∴=2^n-1，（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n=2n-1+a_n，
∴（2n-1+2^n-1）
=[1+3+5+…+（2n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1）
=+
=n²+2ⁿ-1．
分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中项，a₁=1，知2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，由此能求出数列{a_n}的通项公式．．
（Ⅱ）由b_n=2n-1+a_n，知（2n-1+2^n-1）=[1+3+5+…+（2n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1），由等差数列和等比数列的求和公式能求出S_n．
点评：本题考查等差数列的通项公式的求法和数列求和的应用，解题时要认真审题，仔细解答，熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．