Question

【题目】已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与直线：有公共点时，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据离心率及焦距即可求出椭圆方程（2）设点M的坐标为(x0，y0)，表示出圆的半径，因为圆与直线有公共点,所以M到直线距离小于等于半径，即可求出x0的取值范围，进而求出|y0|的最大值，即可求三角形面积的最大值.

(1)∵2c＝2，且＝，∴c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.

则椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设点M的坐标为(x0，y0)，则＋＝1.∵F1(－1，0)，＝4，∴直线l的方程为x＝4.∵圆M与l有公共点，∴M到l的距离4－x0小于或等于圆的半径R.

∵R2＝|MF1|2＝(x0＋1)2＋y，∴(4－x0)2≤(x0＋1)2＋y，即y＋10x0－15≥0.

又y＝3，∴3－＋10x0－15≥0，解得≤x0≤12，又－2<x0<2，∴≤x0<2.当x0＝时，|y0|＝，此时△MF1F2的面积取得最大值，且(S△MF1F2)max＝×2×＝.