Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18；数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）设a_n的公差为d，根据等差数列通项公式根据a₂=6，a₅=18可求得a₁和d，进而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）先看当n≥2时根据T_n-T_n-1=b_n，可得b_n与b_n-1的关系式整理的，进而可知为等比数列，最后验证n=1时，也成立．原式得证．
（3）由（2）可求得数列{b_n}的通项公式，进而可得{c_n}的通项公式．数列{c_n}由等差数列和等比数列构成，进而可用错位将减法求和．
解答：解：（1）设a_n的公差为d，则：a₂=a₁+d，a₅=a₁+4d，
∵a₂=6，a₅=18，∴，∴a₁=2，d=4．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）当n=1时，b₁=T₁，由，得．
当n≥2时，∵，，
∴，即
∴．
b_n是以为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）可知：．
∴=．
S_n=c₁+c₂+…c_n-1+c_n=
∴．
∴=
=
=
∴
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和问题．当出现由等比数列和等差数列构成的数列求和时，一般采用错位相减法．