Question

如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC=4，AB=AC，∠BAC=90°，D为半圆弧

B1C

的中点，若异面直线BD和AB₁所成角的大小为arccos

2

3

，求：
（1）该几何体的体积；
（2）直线AD与平面ACC₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连A₁D，由题设知A₁、D关于B₁C对称，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用异面直线BD和AB₁所成角的大小为arccos

2

3

，求得AA₁，利用V=

1

2

•AB•AC•h+

1

2

•π•(

BC

2

)2•h可求几何体的体积；
（2）

AD

=（2

2

，2

2

，4），平面ACC₁A₁的法向量

n

=（0，1，0），利用向量的夹角公式，可求直线AD与平面ACC₁A₁所成角的大小．

解答：解：连A₁D，由题设知A₁、D关于B₁C对称，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA₁=h，则A（0，0，0），B（0，2

2

，0），B₁（0，2

2

，h），
D（2

2

，2

2

，h），

BD

=（2

2

，0，h），

AB1

=（0，2

2

，h），
∵异面直线BD和AB₁所成角的大小为arccos

2

3

∴

2

3

=

| BD • AB1 |

| BD || AB1 |

=

h2

h2+8 • h2+8

∴2h²+16=3h²，∴h=4，
（1）V=

1

2

•AB•AC•h+

1

2

•π•(

BC

2

)2•h=

1

2

•2

2

•2

2

•4+

1

2

•π•22•4=16+8π．
（2）

AD

=（2

2

，2

2

，4），平面ACC₁A₁的法向量

n

=（0，1，0），
设直线AD与平面ACC₁A₁所成角为θ，则sinθ=

| AD • n |

| AD |•| n |

=

2 2

4 2

=

1

2

，∴θ=

π

6

，
故直线AD与平面ACC₁A₁所成角的大小为

π

6

．

点评：本题考查几何体的体积，考查线线角、线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，综合性强．