题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=PB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积为
时，tanθ的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】分析：先计算AE的值，再证明AF⊥平面PCB，可得AF⊥EF，利用三角形的面积公式求出AF，进而求出PC，BC，即可求tanθ的值．
解答：解：∵PA⊥底面ABC，∠ACB=90°
∴PA⊥AC，PA⊥AB
∴PC2=PB2=PA2+AC2=4+4=8
∵AE⊥PB，PA=AB=2，∴AE=
=
∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC
∴AF⊥BC
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PCB
∴AF⊥EF
∴△AEF的面积=
=
∴AF×EF=1
∵AE=
=
，
∴
∴AF=1
∵PA=2，∴∠APC=30°，∴PC=
∵PB=
，∴BC=
∴tanθ=
点评：本题考查线面垂直，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
解答：解：∵PA⊥底面ABC，∠ACB=90°
∴PA⊥AC，PA⊥AB
∴PC2=PB2=PA2+AC2=4+4=8
∵AE⊥PB，PA=AB=2，∴AE=
=
∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC
∴AF⊥BC
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PCB
∴AF⊥EF
∴△AEF的面积=
=
∴AF×EF=1
∵AE=
=
，∴
∴AF=1
∵PA=2，∴∠APC=30°，∴PC=
∵PB=
，∴BC=
∴tanθ=
点评：本题考查线面垂直，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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