Question

以F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0）为焦点的椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（

2

，

30

3

），斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）
（1）求E的方程；
（2）求l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆焦点坐标，可知c=2

2

，利用椭圆的定义可求出a的值，再根据b²=a²-c²求出b的值，即可求出椭圆E的方程；
（2）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程．

解答：解：（1）由已知得，c=2

2

，
又2a=MF₁+MF₂=4

3

解得a=2

3

，又b²=a²-c²=4，
所以椭圆E的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）设直线l的方程为y=x+m，
由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

得4x²+6mx+3m²-12=0．①
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中点为E（x₀，y₀），
则x₀=

x1+x2

2

=-

3m

4

，
y₀=x₀+m=

m

4

，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=

2- m 4

-3+ 3m 4

=-1，
解得m=2．
故l的方程为：y=x+2．

点评：此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．