Question

在直角坐标系xOy中
（1）以原点为圆心的圆O与直线相切．求圆O的方程；
（2）从点A（4，4）引圆的切线，切点为B，求切线长|AB|的值；
（3）P（x，y）是圆O上任意一点，求 x-2y的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直线与圆相切可得，圆心（0，0）到直线x+2y-4=0的距离d=r，从而可求r，进而可求圆的方程．
（2）利用A到圆心的距离与圆的半径，切线长满足勾股定理，求出切线长．
（3）设出圆上点的坐标，代入x-2y，通过三角代换，求出求值范围．
解答：解：（1）设所求的圆的方程为：x²+y²=r²
∵直线与圆相切
圆心（0，0）到直线的距离d==2=r
所求的圆的方程为：x²+y²=4．
（2）从点A（4，4）引圆的切线，所以|AO|=，圆的半径为：2，
切点为B，切线长|AB|===2．
（3）圆的方程为：x_²+y_²=4，设圆上的任意点为（2cosα，2sinα），α∈R，
所以x-2y=2cosα-4sinα=2cos（α+θ），tanθ=，
cos（α+θ）∈[-1，1]．
所以2cos（α+θ）∈[-2，2]．
x-2y的取值范围：[-2，2]．
点评：本题考查圆的标准方程的求法，直线与圆的位置关系，圆的切线长的求法，三角代换的应用，考查转化思想，计算能力．