Question

已知

a

=（1，0），

b

=（0，1），若向量

c

=（m，n）满足（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，试求点（m，n）到直线x+y+1=0的距离的最小值．

Answer 1

分析：由（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0不难得到动点（m，n）的轨迹方程是一个圆，再由圆上动点到直线距离的最值的求法，即可得到结果．

解答：解：将

c

=（m，n），代入（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0得
-m（1-m）-n（1-n）=0，
∴(m-

1

2

)2+(n-

1

2

)2=

1

2

，
它表示以(

1

2

，

1

2

)为圆心，

2

2

为半径的圆．
∵圆心(

1

2

，

1

2

)到直线x+y+1=0的距离d=

| 1 2 + 1 2 +1|

2

=

2

，
∴点（m，n）到直线x+y+1=0的距离的最小值为
d-r=

2

-

2

2

=

2

2

．

点评：求动点（m，n）到定直线的距离的最值，关键是要根据已知条件，判断动点（m，n）的轨迹方程，然后根据轨迹方程对应曲线的性质，计算出最终结果．