Question

如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）若AB=BC=2，PA=2

3

，E为PC中点，求AE与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由 PA⊥平面ABC，可得BC⊥PA，又BC⊥AB，故BC⊥平面PAB，从而证得BC⊥PB．
（2）取PB中点F，连接EF，则EF是三角形PBC的中位线，∠AEF即为所求，三角形AEF中，求出三边之长，
由余弦定理求得 AE与BC所成角的余弦值．

解答：解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA．
又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．
（2）取PB中点F，连接EF，则EF是三角形PBC的中位线，EF∥BC，连接AF，
则∠AEF即为所求，AE=

1

2

PC=

5

，AF=

1

2

PB=2，
EF=

1

2

BC=1，三角形AEF中，有余弦定理求得 cos∠AEF=

5

5

．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求异面直线成的角，找出异面直线成的角，是解题的关键．