Question

如右图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.

(1)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；

(2)若＝，求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）45°.

【解析】本试题主要考查了下年垂直的判定和二面角的求解。第一问中

要证线面垂直，利用线面垂直的判定定理可以得到。第二问中，利用＝，以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系为平面PBE的法向量.

为平面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式得到结论

解：(1)证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，

∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD.

又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，

∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2：以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD＝a，

则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，

∴＝( ，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0).

∵·＝×1－×1－a×0＝0，

·＝×1－×1＋0×0＝0，

∴EN⊥PB，EN⊥DB.

∵PB、DB⊂面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)

(2)解法1：连结DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.

∵＝，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴为平面PBE的法向量.

设AD＝1，则N(，，)，∴＝( ，，).

∵为平面ABCD的法向量，＝(0,0，)，(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝＝＝，

∴θ＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD，BG⊂面ABCD，

∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB，∴BG⊥PB，

∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中，∵PD＝DB，

∴∠PBD＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)