Question

11．一个骰子的6个面上分别标有1，2，3，4，5，6，现抛掷3个这样质地均匀的骰子．
（1）求抛掷出的这三个骰子的点数之积是3的倍数的概率？
（2）设X为3个骰子中点数为3的倍数个数，求X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）求出抛掷出的这三个骰子的点数之积是3的倍数的事件的个数，求出所有可能的结果，从而求出满足条件的概率；
（2）列出X的所有的取值，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，从而求出数学期望．

解答 解：（1）抛掷出的这三个骰子的点数之积是3的倍数为事件A，
则A包括：三个点数中有3个数完全一致，2个数完全一致，没有重复数字三类，
即：（6，6，6），（3，3，3），
    （1，1，3），（1，1，6），（2，2，3），（2，2，6），
    （3，3，1），（3，3，2），（3，3，4），（3，3，5），
    （3，3，6），（4，4，3），（4，4，6），（5，5，3），
    （5，5，6），（6，6，1），（6，6，2），（6，6，3），
    （6，6，4），（6，6，5），
    （3，6，x），（3，x，x），（6，x，x），
共有2+18${C}_{3}^{1}$+${C}_{4}^{1}$•${A}_{3}^{3}$+2${C}_{4}^{2}$•${A}_{3}^{3}$=152，而所有的结果数是6×6×6=216，
∴P（A）=$\frac{152}{216}$=$\frac{19}{27}$；
（2）由题意得：X=0，1，2，3，
∴P（X=0）=$\frac{4×4×4}{6×6×6}$=$\frac{8}{27}$，
  P（X=1）=$\frac{3{（C}_{2}^{1}×4×4）}{6×6×6}$=$\frac{12}{27}$，
  P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}（4×2×2）}{6×6×6}$=$\frac{6}{27}$，
  P（X=3）=$\frac{2×2×2}{6×6×6}$=$\frac{1}{27}$，
∴X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

∴E（X）=0×$\frac{8}{27}$+1×$\frac{12}{27}$+2×$\frac{6}{27}$+3×$\frac{1}{27}$=1．

点评 本题考查了求离散型随机变量的分布列，数学期望，细心正确应用公式是解答此类问题的关键．