Question

已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0）．（e是自然对数的底数）
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

解：（1），
∵f'（x）是奇函数，
∴，于是．
（2），
①当a≥1时，恒有f'（x）＜0，∴f（x）为R上的单调减函数；
②当0＜a＜1时，由f'（x）＞0得（1-a）e^x-a＞0∴∴，
∴当时，f（x）单调递增；当时，f（x）单调递减；
综上：当a≥1时，f（x）为R上的单调减函数；
当0＜a＜1时，f（x）在上单调递增；在上单调递减．
分析：（1）由函数y=f（x）的导函数f′（x）是奇函数可根据奇函数的性质f′（-x）=-f′（x）得到a的值即可；
（2）先求出f′（x）因为a的取值决定了f′（x）的正负，所以分两种情况讨论a的取值范围即可得到函数单调区间即可．
点评：考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算．