Question

已知抛物线y²=-8mx(m>0),是否存在过抛物线的焦点F的弦PQ,使△POQ的面积最大或最小?若存在,求出PQ所在直线的倾斜角;若不存在,请说明理由.

Answer 1

1、S_△POQ=·8m·2m=8m².

2、S_△POQ有最小值,且最小值为8m²,此时倾斜角为90°,但S_△POQ无最大值.

解析:

(1)当PQ垂直于x轴时,S_△POQ=·8m·2m=8m².

(2)当PQ不与x轴垂直时,设PQ:y=k(x+2m)(k≠0),即x=-2m.

代入抛物线方程得ky²+8my-16km²=0.

故可求得|y₁-y₂|=8m.

∴S_△POQ=|y₁-y₂|·|OF|=|y₁-y₂|·2m=4m·2m=8m²·>8m².

∴S_△POQ有最小值,且最小值为8m²,此时倾斜角为90°,但S_△POQ无最大值.