Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

f(1)=-2 f′(1)=0

，解得即可．
（2）利用导数求出此区间上的极大值和极小值，再求出区间端点出的函数值，进而求出该区间的最大值和最小值，则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|≤c，求出即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），∴f^′（x）=3ax²+2bx-3．
∵函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，∴切点为（1，-2）．
∴

f(1)=-2 f′(1)=0

，即

a+b-3=-2 3a+2b-3=0

，解得

a=1 b=0

．
∴f（x）=x³-3x．
（2）令f^′（x）=0，解得x=±1，列表如下：
由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，且f（-1）=2；当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=-2．
又f（-2）═-2，f（2）=2．
∴f（x）=x³-3x在区间[-2，2]上的最大值和最小值分别为2，-2．
∴对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=|2-（-2）|=4≤c．
即c得最小值为4．

点评：熟练掌握利用导数求切线的斜率和函数的单调区间及极值是解题的关键．