题目内容

已知 $数学公式$ ，则sin2x的值等于 ________．

$\text{[math]}$
分析：解法1：将已知条件利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简得到sinxcosx的值，所求的式子sin2x利用二倍角的三角函数公式化简后等于2sinxcosx，将sinxcosx的值代入即可求出值；
解法2：利用诱导公式cos（ $\text{[math]}$ +2x）=-sin2x得到sin2x=-cos2（x+ $\text{[math]}$ ），然后利用二倍角的余弦函数公式化简为关于sin（x+ $\text{[math]}$ ）的关系式，将已知条件代入即可求出值．
解答：解法1：由题中的条件得 $\text{[math]}$ （sinx+cosx）=- $\text{[math]}$ ，
两边平方得 $\text{[math]}$ （1+2sinxcosx）= $\text{[math]}$ ，
解得sinxcosx= $\text{[math]}$
则sin2x=2sinxcosx=2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
解法2：sin2x=-cos2（x+ $\text{[math]}$ ）=-[1-2sin²（x+ $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．利用第二种方法解题的关键是角度的灵活变换．