题目内容

如图，已知椭圆 $数学公式$ ，左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若 $数学公式$ ，求椭圆的离心率；
（2）若 $数学公式$ = $数学公式$ ，求直线PF₁的斜率k；
（3）若 $数学公式$ 成等差数列，椭圆的离心率e $数学公式$ ，求直线PF₁的斜率k的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ∴F₁F₂=F₂A
∴a-c=2c
∴e= $\text{[math]}$
（2）设直线PF₁的方程为y=k（x+c），
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ PF₁• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ PF₁• $\text{[math]}$
∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c，a²-b²=c²
∴b=2 $\text{[math]}$ c
∴k= $\text{[math]}$
（3）设 $\text{[math]}$ =t，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵P在第一象限∴k＞ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t
∴2t= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t
∴4kc=ak-ck+b-kc
∴k（6c-a）=b
∴k= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜e＜1
又由已知e $\text{[math]}$ ，
∴e $\text{[math]}$ ，
∴k²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （令m=6e-1，∴e= $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ -1）
∵e $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤m＜5
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ≤2∴0＜k²≤ $\text{[math]}$
∴0＜k≤ $\text{[math]}$
分析：（1）若 $\text{[math]}$ ，则F₂为F₁A的中点，从而得a、c间的等式，求得离心率；
（2）设直线PF₁的方程为y=k（x+c），若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则点B、F₂到直线PF₁的距离相等，利用点到直线的距离公式即可得k、b、c间的关系，再由（1）即可求得斜率k的值
（3）利用点到直线的距离公式，若 $\text{[math]}$ 成等差数列，则k= $\text{[math]}$ ，两边平方后，利用已知离心率范围，即可求得k的范围
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其求法，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，有一定的运算量