题目内容

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-
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x2+3x-
1
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，则它的对称中心为
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
．
分析：根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
对称中心．
解答：解：（1）∵函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
，
∴f′（x）=3x2 -3x+3，∴f″（x）=6x-3．
令 f″（x）=6x-3=0，解得 x=
1
2
，且f（
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2
）=1，
故函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
对称中心为（
1
2
，1），
故答案为：（
1
2
，1）．
点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
 
；
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
 
．
（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=
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x3-
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x2+3x-
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，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=
1
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x3-
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2
x2+3x-
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的对称中心为
（
1
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，1）
（
1
2
，1）
；
（2）计算f(
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)+f(
2
2013
)+f(
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)+…+f（
2012
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）=
2012
2012
．
（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若f(x)=
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x3-
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x2+
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x+1，则该函数的对称中心为
(
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，1)
(
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，1)
，计算f(
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)+f(
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)+f(
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)+…+f(
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)=
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．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．
（1）．函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为
（1，2）
（1，2）
．
（2）．若函数g(x)=
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x3-
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x2+3x-
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+
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x-
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，则g(
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)+g(
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)+g(
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)+…+g(
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)=
2012
2012
．
（2013•安庆三模）对于三次函数f（x）-ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设ft（x）是函数y=f（x）的导数，ftt（x）是函数ft的导数，若方程ftt（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x3-
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x2+
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x+1，则f（
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）+f（
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）+…+f（
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2014
）=（　　）

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