Question

已知数列的前n项和。
（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式。
（2）令，试比较与的大小，并予以证明。

Answer 1

解：（1）在中，
令n=1，可得，即，
，
所以，
所以，即，

，
又，

于是，所以。
（2）由（1）得，
所以，                       ①
             ②
由①-②得，，
所以，
，
于是确定与的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小。
 猜想当n=1，2时，2ⁿ<2n+1，
当n≥3时，2ⁿ>2n+1，
下面用数学归纳法证明：
当n=3时，显然成立；

则当n=k+1时，
，
所以当n=k+1时，猜想也成立。
于是，当n≥3，n∈N*时，2ⁿ>2n+1成立，
 综上所述，当n=1，2时，；
                  当n≥3时，。