题目内容
已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+
.我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列.如当a=1时，得到无穷数列：1、2、
、
……，当a=-
时，得到有穷数列：-
，-1，0.
(1)求当a为何值时，a4=0.
(2)设数列{bn}满足b1=-1,bn+1=
(n∈N*).求证a取数列{bn}中的任一数，都可以得到一个有穷数列{an}.
(3)若
＜an＜2(n≥4),求a的取值范围.
解析：(1)∵a4=0,∴1+=0,∴a3=-1.
∵a3=1+,∴a2=-.
∵a2=1+,∴a=-.
故当a=-时，a4=0.
(2)∵b1=-1,bn+1=
,∴bn=
+1.
a取数列{bn}中的任一个数，不妨设a=bn,
∵a=bn,∴a2=1+
=1+
=bn-1,
∵a3=1+
=1+
=bn-2,
…
∴an=1+
=1+
=b1=-1,
∴an+1=0.
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}.
(3)要使
＜an＜2,即
＜1+
＜2,
∴1＜an-1＜2,
∴要使
＜an＜2,当且仅当它的前一项an-1满足1＜an-1＜2.
∵（
,2）
(1,2),
∴只须当a4∈(
,2)时，都有an∈(
,2) (n≥5).
由a4=
得，
＜
＜2.
解不等式组
故a＞0.
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