Question

7．已知偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x．若在区间[-1，3]上，函数g（x）=f（x）-kx-k有3个零点，则实数k的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据已知条件便可画出f（x）在区间[-1，3]上的图象，而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）图象和函数y=kx+k的个数，而k便是函数y=kx+k在y轴上的截距，所以结合图形，讨论k＞0，k＜0，k=0的情况，并求出对应的k的取值范围即可．

解答 解：根据已知条件知函数f（x）为周期为2的周期函数；
且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|；
而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）和函数y=kx+k的交点个数；
∴（1）若k＞0，则如图所示：
当y=kx+k经过点（1，1）时，k=$\frac{1}{2}$；当经过点（3，1）时，k=$\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{4}＜k＜\frac{1}{2}$；
（2）若k＜0，即函数y=kx+k在y轴上的截距小于0，显然此时该直线与f（x）的图象不可能有三个交点；
即这种情况不存在；
（3）若k=0，得到直线y=0，显然与f（x）图象只有两个交点；
综上得实数k的取值范围是$（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$；
故答案为：（$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$）．

点评 考查周期函数的概念，偶函数图象的特点，直线在y轴上截距的概念，以及函数零点的概念，函数零点和对应函数交点的关系，以及数形结合解题的方法．