题目内容
如图所示，多面体
中，
是梯形，
，
是矩形，平面
平面，
，
.
（1）求证：
平面；
（2）若
是棱
上一点，
平面
，求
；
（3）求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】
（1）见解析 （2）
.
（3）
.
【解析】(1)易证：
，再根据平面ACFE
平面ABCD,利用面面垂直的性质定理转化为
.
(2)连接BD，交AC于O点，若
则
.从而再根据O的位置确定M的位置求出EM的长度.
(3)以C为原点，CA、CB、CF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz,然后分别求出平面BEF和平面EFD的法向量，利用向量法求二面角B-EF-D的平面角的余弦值
（1）平面
，
，从而
.又因为
面
，平面
平面，所以
平面
.
（2）连接
，记
，在梯形中，因为
，
，所以
，
，
，从而
.又因为，
，所以
.连接
，由
平面
得
，因为是矩形，所以.
（3）以
为原点，
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
，设平面
的一个法向量为
，则有
，即
，解得
.
同理可得平面
的一个法向量为
，观察知二面角
的平面角为锐角，所以其余弦值为.
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