Question

已知函数f（x）=（x-a）² e^x，a∈R
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若对于任意的x∈（-∞，1]，都有f（x）≤4e，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=2（x-a）e^x+（x-a）²e^x=（x-a）[x-（a-2）]e^x．…（2分）
令f′（x）=0，得x₁=a-2，x₂=a．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2），（a，+∞），单调递减区间是（a-2，a）．…（7分）
（Ⅱ）当x∈（-∞，1]时，由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，a-2）单调递增，在（a-2，a）单调递减，在（a，1）单调递增，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1）．
∵对于任意的x∈（-∞，1]，都有f（x）≤4e，
∴f（a-2）=4e^a-2≤4e；f（1）=（a-1）²e≤4e，
∴a-2≤1且（a-1）²≤4
∴a∈[-1，3]．…（12分）
分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，确定函数的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（-∞，1]时，由（Ⅰ）知f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），从而可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．