Question

9．在矩形中ABCD中，AB=4，BC=2$\sqrt{3}$，M为动点，DM、CM的延长线与AB（或其延长线）分别交于点E、F，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{EF}$²=0．
（1）若以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，试求动点M的轨迹方程；
（2）不过原点的直线l与（1）中轨迹交于G、H两点，若GH的中点R在抛物线y²=4x上，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），由已知D、E、M及C、F、M三点共线求得x_E、x_F，可得$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{BF}$ 的坐标，${\overrightarrow{EF}}^{2}$=${{（x}_{E}{-x}_{F}）}^{2}$，代入$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{EF}$²=0，化简可得点M的轨迹方程．
（2）设直线l的方程为 y=kx+m （m≠0），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kxm}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得关于x的一元二次方程，由△＞0，可得 4k²-m²+3＞0 ①．利用韦达定理求得M的坐标，将点M的坐标代入y²=4x，可得 m=-$\frac{16k（3+{4k}^{2}）}{9}$，k≠0 ②，将②代入①求得k的范围．

解答 解：（1）设M（x，y），由已知得A（-2，0）、B （2，0）、C（2，2$\sqrt{3}$）、D（-2，2$\sqrt{3}$），
由D、E、M及C、F、M三点共线得，x_E $\frac{2\sqrt{3}x+2y}{2\sqrt{3}-y}$，x_F=$\frac{2\sqrt{3}x-2y}{2\sqrt{3}-y}$．
又$\overrightarrow{AE}$=（x_E+a，0），$\overrightarrow{BF}$=（x_F-a，0），${\overrightarrow{EF}}^{2}$=${{（x}_{E}{-x}_{F}）}^{2}$，
代入$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{EF}$²=0，化简可得 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设直线l的方程为 y=kx+m （m≠0），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kxm}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得 （3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由题意可得△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即 4k²-m²+3＞0 ①．
又x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+{4k}^{2}}$，故M（-$\frac{4km}{3+{4k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+{4k}^{2}}$），将点M的坐标代入y²=4x，
可得 m=-$\frac{16k（3+{4k}^{2}）}{9}$，k≠0 ②，
将②代入①得：16k² （3+4k²）＜81，
解得-$\frac{\sqrt{6}}{8}$＜k＜$\frac{\sqrt{6}}{8}$ 且k≠0．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，直线和圆锥曲线的位置关系，二次函数的性质，属于中档题．