Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2，M，N分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)． 　　解析：本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点． 　　(Ⅰ)如图连接BD． 　　∵M，N分别为PB，PD的中点， 　　∴在PBD中，MN∥BD． 　　又MN平面ABCD， 　　∴MN∥平面ABCD； 　　(Ⅱ)如图建系： 　　A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)， 　　N(，0，0)，C(，3，0)． 　　设Q(x，y，z)，则． 　　∵，∴． 　　由，得：．即：． 　　对于平面AMN：设其法向量为． 　　∵． 　　则．∴． 　　同理对于平面AMN得其法向量为． 　　记所求二面角A－MN－Q的平面角大小为， 　　则． 　　∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为．