Question

已知△P₁OP₂的面积为，P为线段P₁P₂的一个三等分点，求以直线OP₁、OP₂为渐近线且过点P而离心率为的双曲线方程.

Answer 1

解析：以O为原点,∠P₁OP₂的角平分线为x轴建立如右图所示的直角坐标系,设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0),由e²==1+()²=()²得.

∴两渐近线OP₁、OP₂方程分别为y=x和y=-x，设点P₁（x₁,x₁），点P₂（x₂,-x₂）(x₁＞0,x₂＞0),则点P分所成的比λ==2.得P点坐标为(),即（）,又点P在双曲线=1上.

所以=1,

即（x₁+2x₂）²-(x₁-2x₂)²=9a².

8x₁x₂=9a².                                                                     ①

又|OP₁|=x₁,

|OP₂|=x₂,

sinP₁OP₂=，

∴=|OP₁|·|OP₂|·sinP₁OP₂=·x₁x₂·=，

即x₁x₂=.                                                                    ②

由①②得a²=4,∴b²=9,

故双曲线方程为=1.