Question

已知数列{a_n}的首项是a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+3（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=log₂b_n，若存在常数k，使不等式k≥

cn-1

(n+25)cn

(n∈N*)恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1））∵S_n+1=2S_n+3n+1，∴当n≥2时，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，两式相减得a_n+1=2a_n+3，从而b_n+1=a_n+1+3=2（a_n+3）=2b_n（n≥2），由此可以导出数列{b_n}的通项公式．
（2）由题意知c_n=log₂b_n=log₂4×2^n-1=log₂2ⁿ⁺¹，再用均值不等式进行求解．

解答：解：（1）∵S_n+1=2S_n+3n+1，
∴当n≥2时，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，两式相减得a_n+1=2a_n+3，从而b_n+1=a_n+1+3=2（a_n+3）=2b_n（n≥2），
∵S₂=2S₁+3+1，
∴a₂=a₁+4=5，可知b₂≠0．
∴bn≠0

&(n≥2)

．
∴

bn+1

bn

=2(n≥2)，又

b2

b1

=

a2+3

a1+3

=

8

4

=2．
∴数列{b_n}是公比为2，首项为4的等比数列，
因此b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
（2）据（1）c_n=log₂b_n=log₂4×2^n-1=log₂2ⁿ⁺¹=n+1

cn-1

(n+25)cn

=

n+1-1

(n+25)(n+1)

=

n

(n+25)(n+1)

=

1

n+ 25 n +26

≤

1

2×5+26

=

1

36

，（当且仅当n=5时取等号）．
故不等式k≥

cn-1

(n+25)cn

(n∈N*)恒成立，?k≥

1

36

．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要注意均值不等式的合理运用．