Question

设抛物线y²=4x有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.

Answer 1

思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x轴与AB垂直,且A、B关于x轴对称,所以△OAB为等腰三角形.

解：抛物线y²=4x的焦点为F(1,0),F为△OAB的垂心,所以x轴⊥AB,A、B关于x轴对称.设A(4t²,4t)(t＞0),则B(4t²,-4t),所以k_AF=,k_OB=.因为AF⊥OB,所以k_AF·k_OB=·()=-1.所以t²=.由于t＞0,得t=,所以A(5,).所以｜AB｜=,｜OA｜=｜OB｜=,

这个三角形的周长为.