Question

设抛物线y²=4x有内接三角形OAB，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长.

Answer 1

解析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x轴与AB垂直,且A、B关于x轴对称,所以△OAB为等腰三角形.

解：抛物线y²=4x的焦点为F(1,0),F为△OAB的垂心,

所以x轴⊥AB,A、B关于x轴对称.

设A(4t²,4t)(t＞0),则B(4t²,-4t),

所以k_AF=,k_OB=-=-.

因为AF⊥OB,所以k_AF·k_OB=·(-)=-1.

所以t²=.由t＞0,得t=

所以A(5,2).所以|AB|=4,|OA|=|OB|=3,

这个三角形的周长为10.