Question

已知函数f（x）=mln（x-1）+（m-1）x，m∈R是常数．
（1）若m=

1

2

，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在最大值，求m的取值范围；
（3）若对函数f（x）定义域内任意x₁、x₂（x₁≠x₂），

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域，然后求出函数的导函数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间．
（2）根据函数的增减区间确定函数的最大值，从而解出m的取值范围．
（3）由

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)得

mln(x1-1)+mln(x2-1)

2

＞mln(

x1+x2

2

-1)，利用基本不等式得出

x1+x2

2

-1=

(x1-1)+(x2-1)

2

＞

(x1-1)(x2-1)

再利用对数函数的性质，得出所以ln(

x1+x2

2

-1)＞ln

(x1-1)(x2-1)

，从而m只需小于0即可．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（1，+∞）…（1分）
m=

1

2

时，f(x)=

1

2

ln(x-1)-

1

2

x，f/(x)=

1

2(x-1)

-

1

2

=

2-x

2(x-1)

…（2分）
解f′（x）=0得x=2．
当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，即f（x）在（1，2）单调递增…（3分）；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在（2，+∞）单调递减…（4分）．
（2）f/(x)=

m

x-1

+(m-1)=

(m-1)x+1

x-1

若m≥1，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，不存在最大值…（5分）
若m≤0，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，不存在最大值…（6分）
若0＜m＜1，由f′（x）=0得x=

1

1-m

，
当x∈(1，

1

1-m

)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈(

1

1-m

，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减…（8分），
所以f（x）在x=

1

1-m

取得最大值，所求m的取值范围为（0，1）…（9分）
（3）由

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)得

mln(x1-1)+mln(x2-1)

2

＞mln(

x1+x2

2

-1)…（10分），
依题意x₁-1＞0，x₂-1＞0且x₁-1≠x₂-1，所以

x1+x2

2

-1=

(x1-1)+(x2-1)

2

＞

(x1-1)(x2-1)

…（11分），
y=lnx是增函数，所以ln(

x1+x2

2

-1)＞ln

(x1-1)(x2-1)

…（12分）
=

1

2

ln[(x1-1)(x2-1)]=

1

2

[ln(x1-1)+ln(x2-1)]…（13分），
所求m的取值范围为（-∞，0）…（14分）．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．