Question

如图18，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点.

(1)证明AM⊥PM；

(2)求二面角P-AM-D的大小.

图18

Answer 1

(1)证明:如图19,取CD的中点E，连接PE、EM、EA,

图19

∵△PCD为正三角形,

∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=.

∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD.

∵四边形ABCD是矩形,

∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形.

由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3,

∴EM²+AM²=AE².∴AM⊥EM.

又EM是PM在平面ABCD上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM.

(2)解:由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM,

∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角.

∴tan∠PME===1.∴∠PME=45°.

∴二面角P-AM-D为45°.