题目内容
17．若正项数列{an}中，a1+a2+a3+…+an=$\frac{1}{2}$（an+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N*．则数列{an}的通项公式为（ ）| A． | an=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$ | B． | an=$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$ | C． | an=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n+1}$ | D． | an=$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$ |
分析 由a1+a2+a3+…+an=$\frac{1}{2}$（an+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N*．当n=1时，a1=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，解得a1=1．同理可得：a2=$\sqrt{2}$-1.${a}_{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，a4=2-$\sqrt{3}$．猜想：an=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．代入验证即可得出．
解答 解：∵a1+a2+a3+…+an=$\frac{1}{2}$（an+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N*．
∴当n=1时，a1=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，解得a1=1．
当n=2时，a1+a2=$\frac{1}{2}$（a2+$\frac{1}{{a}_{2}}$），解得a2=$\sqrt{2}$-1．
同理可得：${a}_{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，a4=2-$\sqrt{3}$．
猜想：an=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
代入a1+a2+a3+…+an=$\frac{1}{2}$（an+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N*．验证成立．
故选：A．
点评 本题考查了递推关系的应用、猜想验证能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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