题目内容
某中学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能参加一个社团，假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率；
（2）（文科）求甲、乙、丙三人中恰有两人参加A社团的概率；
（3）（理科）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生参加A社团的人数，求ξ的分布列与数学期望．
分析：（1）每个学生参加社团，有5种选法，由分步乘法原理即可求解，“甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生参加同一社团”的对立事件为“三名学生选择三个不同社团”，利用对立事件的概率关系求解．
（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人参加A社团的方法数是12种，从而求出求甲、乙、丙三人中恰有两人参加A社团的概率；
（3）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，利用古典概型分别求概率，列出分布列求期望即可．
（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人参加A社团的方法数是12种，从而求出求甲、乙、丙三人中恰有两人参加A社团的概率；
（3）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，利用古典概型分别求概率，列出分布列求期望即可．
解答：解：（1）甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法数是5种，
故共有5×5×5=125（种）．
三名学生选择三门不同社团的概率为：
=
．
∴三名学生中至少有两人选修同一社团的概率为：1-
=
．
（2））（文科）求甲、乙、丙三人中恰有两人参加A社团的方法数是12种
故所求概率为
（3）由题意：ξ=0，1，2，3
．P（ξ=0）=
=
； P（ξ=1）=
；
P（ξ=2）=
； P（ξ=3）=
．
ξ的分布列为
数学期望 Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．
故共有5×5×5=125（种）．
三名学生选择三门不同社团的概率为：
| ||
| 53 |
| 12 |
| 25 |
∴三名学生中至少有两人选修同一社团的概率为：1-
| 12 |
| 25 |
| 13 |
| 25 |
（2））（文科）求甲、乙、丙三人中恰有两人参加A社团的方法数是12种
故所求概率为
| 12 |
| 125 |
（3）由题意：ξ=0，1，2，3
．P（ξ=0）=
| 43 |
| 53 |
| 64 |
| 125 |
| 48 |
| 125 |
P（ξ=2）=
| 12 |
| 25 |
| 1 |
| 125 |
ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 64 |
| 125 |
| 48 |
| 125 |
| 12 |
| 25 |
| 1 |
| 125 |
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查计数原理、古典概型、及离散型随机变量的分布列和期望，难度不大．
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