Question

（2012•海淀区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）若b=

13

，a=3，求c的值；
（Ⅱ）设t=sinAsinC，求t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A，B，C成等差数列求得B的值，再由余弦定理求得c的值．
（Ⅱ）因为A+C=

2

3

π，利用两角和差的正弦公式化简函数t的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．
因为A+B+C=π，所以B=

π

3

．
因为b=

13

，a=3，b²=a²+c²-2accosB，所以c²-3c-4=0，解得c=4，或c=-1（舍去）．
（Ⅱ）因为A+C=

2

3

π，所以，t=sinAsin(

2π

3

-A)=sinA(

3

2

cosA+

1

2

sinA)
=

3

4

sin2A+

1

2

(

1-cos2A

2

)=

1

4

+

1

2

sin(2A-

π

6

)．
因为0＜A＜

2π

3

，所以，-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

．
所以当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，t有最大值

3

4

．

点评：本题主要考查等差数列的性质、余弦定理、两角和差的正弦公式、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．