Question

已知点，圆：与椭圆：有一个公共点，分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆相切．
（Ⅰ）求的值与椭圆的方程.
（Ⅱ）设为椭圆上的一个动点，求·的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，得．
∵m＜3，
∴m＝1．
圆C：
设直线PF1的斜率为k，则PF₁：，
即．
∵直线PF₁与圆C相切，
∴．
解得．
当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．            
2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．
椭圆E的方程为：．                
（Ⅱ），
设Q（x，y），，．
∵，即，
而，
∴－18≤6xy≤18．    
则的取值范围是[0，36]．
的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．